期貨期權等價鞅測度

『壹』 金融數學的起源

金融數學的歷史回顧
關於金融數學的起源最早可以追溯到1900年
l 法國天才Bachelier Louis在Einstein和Wiener（正式建立了Brown運動的數學模型1905年）之前1900年就已經認識了Wiener函數的一些重要性質，即擴散方程和分布，並在其博士論文The Theory of Speculation中首次給出了歐式買權的定價公式。
l 1952年Harry M. Markowitz(1927-)（紐約市州立大學，1990年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一）提出投資組合的選擇（Portfolio selection）理論。如果一個投資者為減少風險同時對多種股票進行投資，那麼什麼樣的投資組合最好？均值方差最優投資組合模型。
l 1958年Modigliani，F.(1985年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一), Miller，M.H.（1923-2000）（芝加哥大學，1990年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一）提出Modigliani-Miller定理（MMT），他斷言，在一定的條件下，公司的市場價值只依賴於它的利潤流，而於它的資本結構無關，即與債權與股權之間的比例無關；也於它的分紅策略無關，即與債權者與股權者之間的利潤分割無關。William F. Sharpe(斯坦佛大學，1934-)資本資產定價理論模型（CAPM）。Markowitz, Miller, Sharpe 獲1990年諾貝爾經濟學獎。
l 1964年，Sprenkle提出了「股票價格服從對數正態分布」的基本假設，並肯定了股價發生隨機漂移的可能性。同年，Boness將貨幣時間價值的概念引入到期權定價過程，但他沒有考慮期權和標的股票之間風險水平的差異。
l 1965年，著名經濟學家薩繆爾森(Samuelson)把上述成果統一在一個模型中。1969年，他又與其研究生Merton合作，提出了把期權價格作為標的股票價格的函數的思想。
l 1971年Robert C. Merton (1944-哈佛大學教授，數學碩士)首次提出了最優消費與投資組合問題，用隨機動態規劃的方法引入金融數學。Robert C. Merton，Myron S. Scholes1997獲年諾貝爾經濟學獎。
l 1973年Fisher Black(1938-1995哈佛大學應用數學博士)和Myron S. Scholes(1944-（斯坦福大學教授，工程學士）)在《政治經濟學雜志》發表具有劃時代意義的「期權定價與公司財務」一文，該論文首次提出了金融衍生品的期權定價理論，獲得了Black-Scholes期權定價模型。Robert C. Merton (1944-)進一步完善和系統化這一理論。1973年在Black和Scholes用幾何Brown運動來刻畫價格波動規律，用無套利復制的方法建立了歐式期權的定價公式。
兩種證券：股票 債券
歐式看漲期權

，
在B—S模型之前，雖然眾多學者已經建立了各種各樣的期權定價模型，但這些模型幾乎不具備任何實用價值，因為它仍或多或少地包含一些主觀的參數，如投資者個人對風險的態度、市場均衡價格等。
1973年Robert C. Merton (1944-)在《經濟和管理科學》發表題為「理性期權定價理論」論文，後來和Black，Scholes合作發表了多篇文章，並對經典的Black-Scholes模型從多方面做了進一步改進和發展（如股票價格的跳擴散模型）。
他們的工作被稱為華爾街的「第二次革命」，B-S公式被成千上萬的投資者每天是用，被譽為有史以來用的最多的數學工具，同時他們開創性的工作也大大推動了數學在經濟學金融學的應用和發展（如隨機分析，隨機控制，隨機微分方程，數值計算，優化理論，數理統計，非線性數學等）。
Black-Scholes 「期權定價與公司財務」一文的發表過程曾被兩次退稿，第一次《政治經濟學雜志》主編退稿的理由是：金融內容太多，經濟學內容少；《經濟與統計評論》退稿時甚至沒有說任何理由。後來《政治經濟學雜志》換了主編，在Miller的推薦（「打招呼」）下，在1973年才得以發表。而B-S公式的實證論文在1972年就在《金融學雜志》上發表。B-S公式是使用頻率最高的數學公式之一，該文的引用率高達一萬三千多次（13299次）遠遠高於其他經濟學諾獎的獲獎者（如Samuelson 為3993）。
l 1976年Ross,S.A.(1944- )針對資本資產定價模型（CAMP）提出了一個多因子模型，即套利定價模型（ATP）,其主要結論是：無套利假設等價於某種等價概率測度的存在，這使得每一種金融資產對該概率測度的期望收益率都等於無風險證券的收益率。
l Harrison 和 Krops(1979), Harrison 和 Pliska(1981),奠定了期權定價鞅方法的理論。主要結論是，在給定的市場模型下，如果等價鞅測度存在，則市場是無套利的，如果等價鞅測度存在且唯一，則市場是完備的，即市場上的任意未定權益都是可達到的。完備市場上任意未定權益有唯一無套利定價，即為未定權益的折現價格在等價鞅測度下的數學期望。完備市場是以理想的市場模型，現實市場多為不完備市場。
l Follmer 和 Sondermann(1986)首次用均值方差准則研究了不可達未定權益（non-attainable claim）的套期保值問題，依此准則，Martin Schweizer (1994)，在假定風險資產的價格過程是滿足一定形式的半鞅並且未定權益滿足F-S分解的條件下，給出了任意未定權益的最優套期保值策略和近似定價。

『貳』 "鞅"和"等價鞅測度"是什麼意思

[yāng]
鞅
鞅，指去了毛的獸皮，就是指套在馬頸或馬腹上的皮帶。泛指牲口拉車時的器具。另外通「怏」，不愉快、煩悶的樣子。

M-P逆與一般B-S模型中的 等價鞅測度(英文)
在一般B-S模型中,為了得到等價鞅測度,首先必須解出風險溢價方程.為此,經典方法總是假定擴散矩陣幾乎處處是滿秩的.文章利用代數中的M-P逆理論,證明了即使擴散矩陣不滿足這個條件,

『叄』 "鞅"和"等價鞅測度"是什麼意思

鞅是隨機過程的一種，它的顯著特點是未來的期望等於現在。一個隨機過程一般伴隨著一個測度。測度是滿足一定條件的取值為非負的集函數，兩個測度等價是指這兩個函數具有相同的支撐，支撐是指使函數值大於零的定義域。
等價鞅測度即是把不是鞅的隨機過程轉化成鞅的測度。這一測試和原來隨機過程伴隨的測試等價。轉化成鞅後，可是直接採用求數學期望的方法來獲得金融衍生產品的價格，如期權，而不用解偏微分方程了。

『肆』 閆海峰的發表學術論文

[1] Haifeng YAN,Jianqi YANG,Limin LIU . Mixed Hedging Under Additive Market PriceInformation. Jrl Syst Sci & Complexity (2008) 21(2): 239–249.( Jiangsu Provinces Ecation Commission, National Natural Science Foundation Research Project under Grant No. 07KJD110066.)
[2] 閆海峰，劉利敏，楊建奇. 隨機波動率模型的效用無差別定價和套期保值策略.系統工程學報，2007,22(4):379-385.(江蘇省高校哲社基金05SJD790056)
[3] 郭文旌，閆海峰，雷鳴. 隨機市場系數條件下不連續股價的M-V投資組合選擇.高校應用數學學報,2007,22(3):263-269.
[4] Yang Jianqi，Yan Haifeng. Martingale Measures in the Market with Restricted Information. Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, Volume 2006, Article ID 74864, Pages 1–7. (河南省科技廳軟科學基金0313062400)
[5] Jiang Tao，HaifengYan. The Finite-time Ruin Probability for the Jump-Diffusion Model with Constant Interest Force. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series , 2006 , 22(1) : 171–176. (國家自然科學基金70471071)
[6] Yan haifeng ,Zhai yonghui. Dynamic Protfolio Selection under Earning at Risk. Lecture Notes in Decision Sciences 2006,Vol.9 410-416.ISSN 1727-2270,ISBN 962-8286-98-6
[7] 閆海峰 , 翟永會 ，劉三陽 .股票價格遵循幾何分式Brown運動的期權定價. 數學的實踐與認識，2006，36(8):19-24.(國家自然科學基金70471071，江蘇省高校哲社基金05SJD790056)
[8] 閆海峰，劉利敏. 三叉樹模型下的等價鞅測度.運籌與管理，2006,15(3): 90-93. (國家自然科學基金70471071，江蘇省高校哲社基金05SJD790056,河南省自然科學基金0411014600)
[9] 牛保青，劉利敏，閆海峰. 隨機波動率模型的最有投資問題. 安陽師范學院學報，2006，43（5）：1－4. (國家自然科學基金70471071, 河南省科技廳軟科學基金0313062400)
[10] Yan Haifeng. Pricing Cliquet Option in Jump-Diffusion Model. Stochastic Models, 2005, 21：875-884. (SCI 收錄 )
[11] Pang, Shan Qi, Liu, San Yang and Yan, Hai Feng, Construction of a class of mixed-level orthogonal arrays of run size $9n^2$ (Chinese), Acta Math. Appl. Sin. 28 (2005), no. 2, 368--378; MR2157997 (2006b:05024)
[12] Yan Haifeng. New Method to Option Pricing for the General Black-Scholes Model--An Actuarial Approach. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(7) : 826-835.（SCI收錄）
[13] 閆海峰. 指數半鞅模型未定權益定價與套期保值. 西安電子科技大學博士論文, 2004, 3.
[14] 閆海峰. 股票價格遵循指數O-U過程的最大值期權定價. 工程數學學報,2004,21(3): 397-402
[15] 閆海峰. 一類特殊模型的美式期權定價. 西安電子科技大學學報, 2003,30(1)：125-127
[16] 閆海峰. 帶有Poisson跳的股票價格模型的期權定價. 工程數學學報, 2003, 20(2)：35-40.
[17] 閆海峰. 股票價格遵循Ornstein-Uhlenback過程的期權定價. 系統工程學報, 2003,18(6)：547-551.
[18] 閆海峰，劉三陽.廣義Black-Scholes 模型期權定價新方法----保險精算方法, 應用數學與力學. 2003，Vol.24 ，No.7，730-738
[19] 萬正曉，閆海峰. 資本市場結構升級與經濟結構戰略調. 統計與決策, 2003,10:28-29.
[20] 閆海峰.隨機積分的Girsanov定理及其在期權定價中的應用.河南師大學報. 2003，Vol.31，No.1，49-53
[21] 閆海峰. 指數半鞅等價鞅測度的存在性. 工業數學與應用數學會議論文集，2002,8.467-473.
[22] Yan Haifeng.The Uniform Packing Measure and Packing dimension of Image set of N-d dimensional generalized Brownian Sheet. 應用數學, 13(3), 2000.
[23] Yan Haifeng. On the Hausdorffo Dimension of the inverse Image for any Compact set under a Self-similar Markov Process,應用概率統, 1999,15(4):390-396.
[24] Yan Haifeng. Self-intersection local time and hausdorff and packing dimension of k multiple point and k multiple time sets for multi-parameter generalized Wienew processes. Progress in Natural Science , 1998,8(5): 619-622.
[25] Yan Haifeng .On the hausdorff dimension of the inverse Image for any compact set under a self similar Markov process. Chinese Journal of Applied probability and statistics. 1999, 15(4): 390-396.
[26] 多指標廣義Wiener過程的自相交局部時及K-重點和K-重時的維數，自然科學進展，1998，No.4 493-495.
[27] 一類隨機Cantor集的Hausdor維數,中國科技大學學報.1999.19(3). 367-372.
[28] 一類自相似馬氏過程的局部時.數學雜志. 1999.19(1)，66-70.
[29] 一類自相似馬氏過程K-重點的存在性.河南大學學報. 1997，27（3）.10-14.
[30] 定向集上的B-值 極限鞅.河南師范大學學報. 1999，27（1），8-13.
[31] 定向集上的B-值P一致漸近鞅. 河南師范大學學報. 2000，28（1），8-11.
[32] 多指標自相似過程弱變差的維數. 河南師范大學學報.1999，27（3）8-11.
[33] 自相似馬氏過程的極性. 河南師范大學學報. 1996，24（4）.
[34] 自相似馬氏過程的暫留性與常返性. 河南師范大學學報. 1995，23（4）.
[35] 集類生成 代數的構造及應用. 河南師范大學學報.1995，23（4）.

『伍』 什麼是無套利均衡價格

供求均衡分析和無套利分析：經濟學和金融學的主要差異
1． 供求和需求分析：經濟學的根本分析方法。（略）
2． 均衡分析和無套利分析：金融學的主要研究方法。
我們知道，在眾多的金融學理論模型中，主要包括兩種分析方法:其一是均衡分析方法，如典型的CCAPM模型、ICAPM模型等;其二則是無套利分析方法，其經典運用包括APT理論和期權定價理論等。
(1) 金融學均衡分析法。從金融均衡分析來看，乍看之下它與經濟學中的均衡分析相當類似：首先，均衡分析法的整體演繹思路是從市場投資主體的效用最大化出發，在一定的約束條件下（預算約束）下獲得均衡狀態的資產價格，在這里價格是最終的輸出變數，這和經濟學中消費者理論的演繹過程相當類似。其次，他們都屬於均衡分析方法，更進一步說它們都屬於絕對定價法：它們的核心都在於理解和度量那些導致金融資產（商品）價格變化的各種經濟因素，用以解釋資產價格的形成和變化過程。第三，金融學均衡分析和經濟學供求分析的理論演繹過程都比較側重於問題的純理論性描述，往往形成一個理想狀態下的均衡價格，其缺陷在於常常和市場相去甚遠而難以實際運用，但在描述資產價格形成和變化的整體影響因素方面卻往往具有更大的一般性，因此都被較多地看作一個分析資產定價問題的理論框架。
然而，在這兩者之間，一個常常被人們忽視的重要區別卻是：在金融學均衡分析方法中，金融產品價格決定並不需要進行供求雙方的共同分析，在這里金融產品的供給方似乎消失了，而只要對需求方進行研究就足以推出均衡狀態和均衡價格。金融學分析方法的這一特點是由其研究對象的根本特點決定的。金融市場與普通商品市場的一個重要區別就在於它沒有明確的供給方和需求方之分，金融產品的供給則並不僅限於工商企業，在這里，除了金融產品的最初供應者，金融市場上的任何一個市場主體都隨時可能在供給方和需求方之間切換，加上金融市場中的賣空機制、套利活動和金融產品的可復制特性，金融市場上的供給在很多時候都可以認為是無限的，也就是說，金融市場上的供給曲線在很多時候都是水平的。
在這樣的情況下，顯然供給分析是無法也沒有必要進行的，金融研究者的目光不得不轉向金融市場的需求方。在需求分析中，效用最大化和預算約束是顯然成立的研究條件，然而情況同樣發生了重要的變化：在金融市場中，投資者所最求得是金融產品所蘊含的風險收益特徵而非金融產品本身，因而在金融市場中充滿著很多可相互替代的金融產品，例如在股票市場中，具有相同β值的股票就可以被認為是近似具有完全替代性的。這樣，在金融產品具有高度可替代性的背景下，金融市場上的需求曲線是完全有彈性的，最終的需求曲線也是水平的。
因此，在供求曲線均為水平的金融領域中，經濟學中供求決定價格的老套路顯然無法繼續使用了：在尚未達到均衡的情況下，我們無法描述交易數量如何沿著供求曲線運動達到均衡點；在均衡狀態下，雖然價格是確定的，但是兩條重合的供求曲線使我們仍然無法找到均衡的交易數量。總之，供求分析一旦失去意義，數量—價格機制就無法發揮作用。這最終導致了在金融學的均衡分析方法中，研究者不得不放棄供給方，而將注意力僅僅集中在需求方的最優化分析之上；同時，金融研究者們也很少再涉及數量—價格之間互動機制的研究，取而代之的是對風險—受益互動機制的深入分析。
(2) 無套利分析法。數量—價格機制和供求分析不起作用，研究者們必然不斷尋求其他方法，與供求均衡分析方法迥異的無套利分析方法應運而生。無套利分析方法的基本思想其實非常簡單，研究者唯一需要確定的是：當市場中其他資產價格給定的時候，某種資產的價格應該是多少，才使市場中不存在套利的機會？很明顯，無套利分析方法的諸多方面都與金融學的研究對象的基本特點相吻合的：既然數量—價格機制不存在，無法從均衡數量導出最優價格參數，無套利分析方法就不再考慮價格運動後面的數量變化，而是將市場價格作為輸出變數；既然金融產品之間具有高度的可替代性，投資者隨時可以在供給方和需求方之間切換，他們關心的只是各種金融產品之間的相對價格水平，無套利分析就以「相對定價」為核心，尋求各種近似替代品價格之間的合理聯系，通過對「無套利」目標的追求確定合理的市場價格。
無套利分析在衍生品定價中的廣泛運用是金融學研究對象特點和研究方法互動的最佳說明。衍生品的冗餘證券性質決定了其可替代證券的存在，而相應的無套利分析必然成為定價分析的核心。
Black和Scholes著名的適用於一般衍生證券價格的Black—Scholes微分方程，為後來膾炙人口的風險中性定價原理、等價鞅測度理論的發展奠定了基礎。而也正是基於他們對無套利分析方法在金融學中的運用，終於獲得諾貝爾經濟學獎。
（3）均衡分析和無套利分析：主要差異。從上文中我們已經知道，金融學中的均衡分析方法與經濟學中的分析方法有詳細之處但也不完全相同，而無套利分析方法則具有完全不同的特點。那麼在金融學研究中，這兩種分析方法之間的關系究竟如何理解呢？
首先，均衡分析法屬於「絕對定價法」而無套利分析法屬於「相對定價法」。
其次，從市場狀態來看，無套利的存在是均衡狀態的必要條件，也就是說，均衡的時候必然是無套利的；但無套利並非是均衡的必要條件，既無套利只是局部均衡，並不意味著一般均衡。因此從這一點來看，相較於均衡分析，無套利分析也具有更大的一般性。
與均衡分析相比，無套利分析是金融研究中更具有標志性的基本方法，也是金融學實際運用中被採用的主要方法，除了無套利分析法與經濟學分析方法差異比較明顯，因而更大體現了金融學和經濟學的區別之外，這一點主要是由金融市場（更明確地說，是金融數據）的基本特徵決定的。在金融研究中，我們可以得到（接近）市場真實狀況的海量和數據特徵導致了金融研究者能夠得到比經濟學研究者更符合市場的可運用的結論，這必然使得那些闡述式的（Indicative）經濟模型（如均衡分析方法）要相對弱於與實際數據相聯系的經濟模型（如無套利模型）。由於無套利分析的結果更貼近市場和真實世界，極大地展現了金融學的適用性，從而在運用中具有更大的優勢。
（二） 金融學和經濟學的其他差異
除了無套利和供求分析這一主要差異之外，金融學和經濟學還在研究方法上存在著其他一些不算顯著的差異，當然這些差異還是和金融學的特定研究對象性質息息相關的。差異之一就是金融學較多地使用連續時間分析而經濟學則較多地使用離散分析。這主要是因為金融學是關於跨期和不確定性的學科，運用連續時間分析具有技術上的便利性。另外，盡管現代經濟學正向涉及不確定性和動態過程的研究方向努力，但其基礎部分仍然主要以（比較）靜態分析為主，而不確定性和跨期動態則可以被認為是金融學研究的基本出發點。
因此，到目前為止，我們可以合理地得到這樣的結論：由於研究對象以及相應的研究方法的特殊性，金融學已經成為一門具有獨特特徵的學科。實際上，金融學研究方法已經和正在越來越多地被運用在那些涉及到時間和不確定性、研究對象具有與金融學類似性質的領域中，如貨幣經濟學和環境經濟學等等，很多以前用非金融方法進行研究的問題現在都被看成是金融問題。

『陸』 風險中性概率測度與鞅測度怎麼理解

鞅是隨機過程的一種，它的顯著特點是未來的期望等於現在。一個隨機過程一般伴隨著一個測度。測度是滿足一定條件的取值為非負的集函數，兩個測度等價是指這兩個函數具有相同的支撐，支撐是指使函數值大於零的定義域。
等價鞅測度即是把不是鞅的隨機過程轉化成鞅的測度。這一測試和原來隨機過程伴隨的測試等價。轉化成鞅後，可是直接採用求數學期望的方法來獲得金融衍生產品的價格，如期權，而不用解偏微分方程了。

『柒』 哪位高手能推薦一本詳細講解 等價鞅測度變換 的書，不勝感激。

什麼是等價鞅測度變換？你說的可是那個girsanov鞅變換？那個很多隨機分析的書里都有吧，比如protter的那本隨機積分和微分方程

『捌』 資產定價原理的圖書目錄

第一章 無套利與資產定價
第一節 狀態依存向量、無套利組合與冗餘資產
第二節 無套利條件與市場一價法則
第三節 完備市場和線性定價法則
第四節 資產定價基本定理
第五節 二項式期權定價公式
第六節 資產定價基本定理的多期形式
第二章 一般經濟均衡與資產定價
第一節 一般經濟均衡條件與無套利條件的關系
第二節 資產市場一般均衡的存在性
第三節 一般經濟均衡框架下的CAPM
第四節 多時期市場中資產的均衡定價
第三章 連續時間資產價格與其隨機微分方程
第一節 動態資產價格的鞅性質與隨機差分方程
第二節 維納(Wiener)過程與資產價格擴散過程
第三節 隨機積分與資產價格隨機微分方程
第四節 伊藤引理
第四章 連續時間的一般經濟均衡與資產定價
第一節 常系數情形下連續時間跨期資產定價模型
第二節 一維變系數情形下連續時間跨期資產定價模型
第三節 多維變系數情形下連續時間跨期資產定價模型
第四節 基於消費的連續時間跨期資產定價模型
第五節 動態完備市場的連續時間最優消費和投資組合準則
第六節 連續時間一般經濟均衡模型與資產定價模型
第五章 連續時間的無套利與等價鞅測度
第一節 鞅轉換與格沙諾夫(cirsanov)定理
第二節 投資策略的自融資性和套利機會
第三節 等價鞅測度與無套利條件
第四節 等價鞅測度的存在性與唯一性
第五節 完備市場與冗餘資產定價
第六章 連續時間衍生資產的無套利定價
第一節 衍生資產定價的一般方法
第二節 等價鞅測度與歐式期權定價
第三節 標的資產支付紅利時的歐式期權定價
第四節 美式期權定價
第五節 遠期合約和期貨合約的定價
第六節 互換合約的定價
第七章 連續時間公司資本定價與資本結構
第一節 公司資本定價的一般模型
第二節 公司資本定價的分類模型
第三節 公司債券的風險結構
第四節 經典條件下的M-M定理
第五節 較弱條件下M-M定理的變形
第六節 加權平均資本成本與ICAPM綜合
第八章 連續時間利率期限結構理論
第一節 離散時間確定利率的期限結構
第二節 連續時間確定利率的期限結構
第三節 連續時間隨機利率的期限結構理論
第四節 連續時間隨機利率的期限結構方程
第五節 仿射期限結構模型
第六節 若干隨機利率模型及期限結構
參考文獻
後記
……