期货期权等价鞅测度

『壹』 金融数学的起源

金融数学的历史回顾
关于金融数学的起源最早可以追溯到1900年
l 法国天才Bachelier Louis在Einstein和Wiener（正式建立了Brown运动的数学模型1905年）之前1900年就已经认识了Wiener函数的一些重要性质，即扩散方程和分布，并在其博士论文The Theory of Speculation中首次给出了欧式买权的定价公式。
l 1952年Harry M. Markowitz(1927-)（纽约市州立大学，1990年诺贝尔经济学奖获奖者之一）提出投资组合的选择（Portfolio selection）理论。如果一个投资者为减少风险同时对多种股票进行投资，那么什么样的投资组合最好？均值方差最优投资组合模型。
l 1958年Modigliani，F.(1985年诺贝尔经济学奖获奖者之一), Miller，M.H.（1923-2000）（芝加哥大学，1990年诺贝尔经济学奖获奖者之一）提出Modigliani-Miller定理（MMT），他断言，在一定的条件下，公司的市场价值只依赖于它的利润流，而于它的资本结构无关，即与债权与股权之间的比例无关；也于它的分红策略无关，即与债权者与股权者之间的利润分割无关。William F. Sharpe(斯坦佛大学，1934-)资本资产定价理论模型（CAPM）。Markowitz, Miller, Sharpe 获1990年诺贝尔经济学奖。
l 1964年，Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。同年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。
l 1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述成果统一在一个模型中。1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。
l 1971年Robert C. Merton (1944-哈佛大学教授，数学硕士)首次提出了最优消费与投资组合问题，用随机动态规划的方法引入金融数学。Robert C. Merton，Myron S. Scholes1997获年诺贝尔经济学奖。
l 1973年Fisher Black(1938-1995哈佛大学应用数学博士)和Myron S. Scholes(1944-（斯坦福大学教授，工程学士）)在《政治经济学杂志》发表具有划时代意义的“期权定价与公司财务”一文，该论文首次提出了金融衍生品的期权定价理论，获得了Black-Scholes期权定价模型。Robert C. Merton (1944-)进一步完善和系统化这一理论。1973年在Black和Scholes用几何Brown运动来刻画价格波动规律，用无套利复制的方法建立了欧式期权的定价公式。
两种证券：股票 债券
欧式看涨期权

，
在B—S模型之前，虽然众多学者已经建立了各种各样的期权定价模型，但这些模型几乎不具备任何实用价值，因为它仍或多或少地包含一些主观的参数，如投资者个人对风险的态度、市场均衡价格等。
1973年Robert C. Merton (1944-)在《经济和管理科学》发表题为“理性期权定价理论”论文，后来和Black，Scholes合作发表了多篇文章，并对经典的Black-Scholes模型从多方面做了进一步改进和发展（如股票价格的跳扩散模型）。
他们的工作被称为华尔街的“第二次革命”，B-S公式被成千上万的投资者每天是用，被誉为有史以来用的最多的数学工具，同时他们开创性的工作也大大推动了数学在经济学金融学的应用和发展（如随机分析，随机控制，随机微分方程，数值计算，优化理论，数理统计，非线性数学等）。
Black-Scholes “期权定价与公司财务”一文的发表过程曾被两次退稿，第一次《政治经济学杂志》主编退稿的理由是：金融内容太多，经济学内容少；《经济与统计评论》退稿时甚至没有说任何理由。后来《政治经济学杂志》换了主编，在Miller的推荐（“打招呼”）下，在1973年才得以发表。而B-S公式的实证论文在1972年就在《金融学杂志》上发表。B-S公式是使用频率最高的数学公式之一，该文的引用率高达一万三千多次（13299次）远远高于其他经济学诺奖的获奖者（如Samuelson 为3993）。
l 1976年Ross,S.A.(1944- )针对资本资产定价模型（CAMP）提出了一个多因子模型，即套利定价模型（ATP）,其主要结论是：无套利假设等价于某种等价概率测度的存在，这使得每一种金融资产对该概率测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。
l Harrison 和 Krops(1979), Harrison 和 Pliska(1981),奠定了期权定价鞅方法的理论。主要结论是，在给定的市场模型下，如果等价鞅测度存在，则市场是无套利的，如果等价鞅测度存在且唯一，则市场是完备的，即市场上的任意未定权益都是可达到的。完备市场上任意未定权益有唯一无套利定价，即为未定权益的折现价格在等价鞅测度下的数学期望。完备市场是以理想的市场模型，现实市场多为不完备市场。
l Follmer 和 Sondermann(1986)首次用均值方差准则研究了不可达未定权益（non-attainable claim）的套期保值问题，依此准则，Martin Schweizer (1994)，在假定风险资产的价格过程是满足一定形式的半鞅并且未定权益满足F-S分解的条件下，给出了任意未定权益的最优套期保值策略和近似定价。

『贰』 "鞅"和"等价鞅测度"是什么意思

[yāng]
鞅
鞅，指去了毛的兽皮，就是指套在马颈或马腹上的皮带。泛指牲口拉车时的器具。另外通“怏”，不愉快、烦闷的样子。

M-P逆与一般B-S模型中的 等价鞅测度(英文)
在一般B-S模型中,为了得到等价鞅测度,首先必须解出风险溢价方程.为此,经典方法总是假定扩散矩阵几乎处处是满秩的.文章利用代数中的M-P逆理论,证明了即使扩散矩阵不满足这个条件,

『叁』 "鞅"和"等价鞅测度"是什么意思

鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。测度是满足一定条件的取值为非负的集函数，两个测度等价是指这两个函数具有相同的支撑，支撑是指使函数值大于零的定义域。
等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测试和原来随机过程伴随的测试等价。转化成鞅后，可是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如期权，而不用解偏微分方程了。

『肆』 闫海峰的发表学术论文

[1] Haifeng YAN,Jianqi YANG,Limin LIU . Mixed Hedging Under Additive Market PriceInformation. Jrl Syst Sci & Complexity (2008) 21(2): 239–249.( Jiangsu Provinces Ecation Commission, National Natural Science Foundation Research Project under Grant No. 07KJD110066.)
[2] 闫海峰，刘利敏，杨建奇. 随机波动率模型的效用无差别定价和套期保值策略.系统工程学报，2007,22(4):379-385.(江苏省高校哲社基金05SJD790056)
[3] 郭文旌，闫海峰，雷鸣. 随机市场系数条件下不连续股价的M-V投资组合选择.高校应用数学学报,2007,22(3):263-269.
[4] Yang Jianqi，Yan Haifeng. Martingale Measures in the Market with Restricted Information. Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, Volume 2006, Article ID 74864, Pages 1–7. (河南省科技厅软科学基金0313062400)
[5] Jiang Tao，HaifengYan. The Finite-time Ruin Probability for the Jump-Diffusion Model with Constant Interest Force. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series , 2006 , 22(1) : 171–176. (国家自然科学基金70471071)
[6] Yan haifeng ,Zhai yonghui. Dynamic Protfolio Selection under Earning at Risk. Lecture Notes in Decision Sciences 2006,Vol.9 410-416.ISSN 1727-2270,ISBN 962-8286-98-6
[7] 闫海峰 , 翟永会 ，刘三阳 .股票价格遵循几何分式Brown运动的期权定价. 数学的实践与认识，2006，36(8):19-24.(国家自然科学基金70471071，江苏省高校哲社基金05SJD790056)
[8] 闫海峰，刘利敏. 三叉树模型下的等价鞅测度.运筹与管理，2006,15(3): 90-93. (国家自然科学基金70471071，江苏省高校哲社基金05SJD790056,河南省自然科学基金0411014600)
[9] 牛保青，刘利敏，闫海峰. 随机波动率模型的最有投资问题. 安阳师范学院学报，2006，43（5）：1－4. (国家自然科学基金70471071, 河南省科技厅软科学基金0313062400)
[10] Yan Haifeng. Pricing Cliquet Option in Jump-Diffusion Model. Stochastic Models, 2005, 21：875-884. (SCI 收录 )
[11] Pang, Shan Qi, Liu, San Yang and Yan, Hai Feng, Construction of a class of mixed-level orthogonal arrays of run size $9n^2$ (Chinese), Acta Math. Appl. Sin. 28 (2005), no. 2, 368--378; MR2157997 (2006b:05024)
[12] Yan Haifeng. New Method to Option Pricing for the General Black-Scholes Model--An Actuarial Approach. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(7) : 826-835.（SCI收录）
[13] 闫海峰. 指数半鞅模型未定权益定价与套期保值. 西安电子科技大学博士论文, 2004, 3.
[14] 闫海峰. 股票价格遵循指数O-U过程的最大值期权定价. 工程数学学报,2004,21(3): 397-402
[15] 闫海峰. 一类特殊模型的美式期权定价. 西安电子科技大学学报, 2003,30(1)：125-127
[16] 闫海峰. 带有Poisson跳的股票价格模型的期权定价. 工程数学学报, 2003, 20(2)：35-40.
[17] 闫海峰. 股票价格遵循Ornstein-Uhlenback过程的期权定价. 系统工程学报, 2003,18(6)：547-551.
[18] 闫海峰，刘三阳.广义Black-Scholes 模型期权定价新方法----保险精算方法, 应用数学与力学. 2003，Vol.24 ，No.7，730-738
[19] 万正晓，闫海峰. 资本市场结构升级与经济结构战略调. 统计与决策, 2003,10:28-29.
[20] 闫海峰.随机积分的Girsanov定理及其在期权定价中的应用.河南师大学报. 2003，Vol.31，No.1，49-53
[21] 闫海峰. 指数半鞅等价鞅测度的存在性. 工业数学与应用数学会议论文集，2002,8.467-473.
[22] Yan Haifeng.The Uniform Packing Measure and Packing dimension of Image set of N-d dimensional generalized Brownian Sheet. 应用数学, 13(3), 2000.
[23] Yan Haifeng. On the Hausdorffo Dimension of the inverse Image for any Compact set under a Self-similar Markov Process,应用概率统, 1999,15(4):390-396.
[24] Yan Haifeng. Self-intersection local time and hausdorff and packing dimension of k multiple point and k multiple time sets for multi-parameter generalized Wienew processes. Progress in Natural Science , 1998,8(5): 619-622.
[25] Yan Haifeng .On the hausdorff dimension of the inverse Image for any compact set under a self similar Markov process. Chinese Journal of Applied probability and statistics. 1999, 15(4): 390-396.
[26] 多指标广义Wiener过程的自相交局部时及K-重点和K-重时的维数，自然科学进展，1998，No.4 493-495.
[27] 一类随机Cantor集的Hausdor维数,中国科技大学学报.1999.19(3). 367-372.
[28] 一类自相似马氏过程的局部时.数学杂志. 1999.19(1)，66-70.
[29] 一类自相似马氏过程K-重点的存在性.河南大学学报. 1997，27（3）.10-14.
[30] 定向集上的B-值 极限鞅.河南师范大学学报. 1999，27（1），8-13.
[31] 定向集上的B-值P一致渐近鞅. 河南师范大学学报. 2000，28（1），8-11.
[32] 多指标自相似过程弱变差的维数. 河南师范大学学报.1999，27（3）8-11.
[33] 自相似马氏过程的极性. 河南师范大学学报. 1996，24（4）.
[34] 自相似马氏过程的暂留性与常返性. 河南师范大学学报. 1995，23（4）.
[35] 集类生成 代数的构造及应用. 河南师范大学学报.1995，23（4）.

『伍』 什么是无套利均衡价格

供求均衡分析和无套利分析：经济学和金融学的主要差异
1． 供求和需求分析：经济学的根本分析方法。（略）
2． 均衡分析和无套利分析：金融学的主要研究方法。
我们知道，在众多的金融学理论模型中，主要包括两种分析方法:其一是均衡分析方法，如典型的CCAPM模型、ICAPM模型等;其二则是无套利分析方法，其经典运用包括APT理论和期权定价理论等。
(1) 金融学均衡分析法。从金融均衡分析来看，乍看之下它与经济学中的均衡分析相当类似：首先，均衡分析法的整体演绎思路是从市场投资主体的效用最大化出发，在一定的约束条件下（预算约束）下获得均衡状态的资产价格，在这里价格是最终的输出变量，这和经济学中消费者理论的演绎过程相当类似。其次，他们都属于均衡分析方法，更进一步说它们都属于绝对定价法：它们的核心都在于理解和度量那些导致金融资产（商品）价格变化的各种经济因素，用以解释资产价格的形成和变化过程。第三，金融学均衡分析和经济学供求分析的理论演绎过程都比较侧重于问题的纯理论性描述，往往形成一个理想状态下的均衡价格，其缺陷在于常常和市场相去甚远而难以实际运用，但在描述资产价格形成和变化的整体影响因素方面却往往具有更大的一般性，因此都被较多地看作一个分析资产定价问题的理论框架。
然而，在这两者之间，一个常常被人们忽视的重要区别却是：在金融学均衡分析方法中，金融产品价格决定并不需要进行供求双方的共同分析，在这里金融产品的供给方似乎消失了，而只要对需求方进行研究就足以推出均衡状态和均衡价格。金融学分析方法的这一特点是由其研究对象的根本特点决定的。金融市场与普通商品市场的一个重要区别就在于它没有明确的供给方和需求方之分，金融产品的供给则并不仅限于工商企业，在这里，除了金融产品的最初供应者，金融市场上的任何一个市场主体都随时可能在供给方和需求方之间切换，加上金融市场中的卖空机制、套利活动和金融产品的可复制特性，金融市场上的供给在很多时候都可以认为是无限的，也就是说，金融市场上的供给曲线在很多时候都是水平的。
在这样的情况下，显然供给分析是无法也没有必要进行的，金融研究者的目光不得不转向金融市场的需求方。在需求分析中，效用最大化和预算约束是显然成立的研究条件，然而情况同样发生了重要的变化：在金融市场中，投资者所最求得是金融产品所蕴含的风险收益特征而非金融产品本身，因而在金融市场中充满着很多可相互替代的金融产品，例如在股票市场中，具有相同β值的股票就可以被认为是近似具有完全替代性的。这样，在金融产品具有高度可替代性的背景下，金融市场上的需求曲线是完全有弹性的，最终的需求曲线也是水平的。
因此，在供求曲线均为水平的金融领域中，经济学中供求决定价格的老套路显然无法继续使用了：在尚未达到均衡的情况下，我们无法描述交易数量如何沿着供求曲线运动达到均衡点；在均衡状态下，虽然价格是确定的，但是两条重合的供求曲线使我们仍然无法找到均衡的交易数量。总之，供求分析一旦失去意义，数量—价格机制就无法发挥作用。这最终导致了在金融学的均衡分析方法中，研究者不得不放弃供给方，而将注意力仅仅集中在需求方的最优化分析之上；同时，金融研究者们也很少再涉及数量—价格之间互动机制的研究，取而代之的是对风险—受益互动机制的深入分析。
(2) 无套利分析法。数量—价格机制和供求分析不起作用，研究者们必然不断寻求其他方法，与供求均衡分析方法迥异的无套利分析方法应运而生。无套利分析方法的基本思想其实非常简单，研究者唯一需要确定的是：当市场中其他资产价格给定的时候，某种资产的价格应该是多少，才使市场中不存在套利的机会？很明显，无套利分析方法的诸多方面都与金融学的研究对象的基本特点相吻合的：既然数量—价格机制不存在，无法从均衡数量导出最优价格参数，无套利分析方法就不再考虑价格运动后面的数量变化，而是将市场价格作为输出变量；既然金融产品之间具有高度的可替代性，投资者随时可以在供给方和需求方之间切换，他们关心的只是各种金融产品之间的相对价格水平，无套利分析就以“相对定价”为核心，寻求各种近似替代品价格之间的合理联系，通过对“无套利”目标的追求确定合理的市场价格。
无套利分析在衍生品定价中的广泛运用是金融学研究对象特点和研究方法互动的最佳说明。衍生品的冗余证券性质决定了其可替代证券的存在，而相应的无套利分析必然成为定价分析的核心。
Black和Scholes著名的适用于一般衍生证券价格的Black—Scholes微分方程，为后来脍炙人口的风险中性定价原理、等价鞅测度理论的发展奠定了基础。而也正是基于他们对无套利分析方法在金融学中的运用，终于获得诺贝尔经济学奖。
（3）均衡分析和无套利分析：主要差异。从上文中我们已经知道，金融学中的均衡分析方法与经济学中的分析方法有详细之处但也不完全相同，而无套利分析方法则具有完全不同的特点。那么在金融学研究中，这两种分析方法之间的关系究竟如何理解呢？
首先，均衡分析法属于“绝对定价法”而无套利分析法属于“相对定价法”。
其次，从市场状态来看，无套利的存在是均衡状态的必要条件，也就是说，均衡的时候必然是无套利的；但无套利并非是均衡的必要条件，既无套利只是局部均衡，并不意味着一般均衡。因此从这一点来看，相较于均衡分析，无套利分析也具有更大的一般性。
与均衡分析相比，无套利分析是金融研究中更具有标志性的基本方法，也是金融学实际运用中被采用的主要方法，除了无套利分析法与经济学分析方法差异比较明显，因而更大体现了金融学和经济学的区别之外，这一点主要是由金融市场（更明确地说，是金融数据）的基本特征决定的。在金融研究中，我们可以得到（接近）市场真实状况的海量和数据特征导致了金融研究者能够得到比经济学研究者更符合市场的可运用的结论，这必然使得那些阐述式的（Indicative）经济模型（如均衡分析方法）要相对弱于与实际数据相联系的经济模型（如无套利模型）。由于无套利分析的结果更贴近市场和真实世界，极大地展现了金融学的适用性，从而在运用中具有更大的优势。
（二） 金融学和经济学的其他差异
除了无套利和供求分析这一主要差异之外，金融学和经济学还在研究方法上存在着其他一些不算显著的差异，当然这些差异还是和金融学的特定研究对象性质息息相关的。差异之一就是金融学较多地使用连续时间分析而经济学则较多地使用离散分析。这主要是因为金融学是关于跨期和不确定性的学科，运用连续时间分析具有技术上的便利性。另外，尽管现代经济学正向涉及不确定性和动态过程的研究方向努力，但其基础部分仍然主要以（比较）静态分析为主，而不确定性和跨期动态则可以被认为是金融学研究的基本出发点。
因此，到目前为止，我们可以合理地得到这样的结论：由于研究对象以及相应的研究方法的特殊性，金融学已经成为一门具有独特特征的学科。实际上，金融学研究方法已经和正在越来越多地被运用在那些涉及到时间和不确定性、研究对象具有与金融学类似性质的领域中，如货币经济学和环境经济学等等，很多以前用非金融方法进行研究的问题现在都被看成是金融问题。

『陆』 风险中性概率测度与鞅测度怎么理解

鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。测度是满足一定条件的取值为非负的集函数，两个测度等价是指这两个函数具有相同的支撑，支撑是指使函数值大于零的定义域。
等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测试和原来随机过程伴随的测试等价。转化成鞅后，可是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如期权，而不用解偏微分方程了。

『柒』 哪位高手能推荐一本详细讲解 等价鞅测度变换 的书，不胜感激。

什么是等价鞅测度变换？你说的可是那个girsanov鞅变换？那个很多随机分析的书里都有吧，比如protter的那本随机积分和微分方程

『捌』 资产定价原理的图书目录

第一章 无套利与资产定价
第一节 状态依存向量、无套利组合与冗余资产
第二节 无套利条件与市场一价法则
第三节 完备市场和线性定价法则
第四节 资产定价基本定理
第五节 二项式期权定价公式
第六节 资产定价基本定理的多期形式
第二章 一般经济均衡与资产定价
第一节 一般经济均衡条件与无套利条件的关系
第二节 资产市场一般均衡的存在性
第三节 一般经济均衡框架下的CAPM
第四节 多时期市场中资产的均衡定价
第三章 连续时间资产价格与其随机微分方程
第一节 动态资产价格的鞅性质与随机差分方程
第二节 维纳(Wiener)过程与资产价格扩散过程
第三节 随机积分与资产价格随机微分方程
第四节 伊藤引理
第四章 连续时间的一般经济均衡与资产定价
第一节 常系数情形下连续时间跨期资产定价模型
第二节 一维变系数情形下连续时间跨期资产定价模型
第三节 多维变系数情形下连续时间跨期资产定价模型
第四节 基于消费的连续时间跨期资产定价模型
第五节 动态完备市场的连续时间最优消费和投资组合准则
第六节 连续时间一般经济均衡模型与资产定价模型
第五章 连续时间的无套利与等价鞅测度
第一节 鞅转换与格沙诺夫(cirsanov)定理
第二节 投资策略的自融资性和套利机会
第三节 等价鞅测度与无套利条件
第四节 等价鞅测度的存在性与唯一性
第五节 完备市场与冗余资产定价
第六章 连续时间衍生资产的无套利定价
第一节 衍生资产定价的一般方法
第二节 等价鞅测度与欧式期权定价
第三节 标的资产支付红利时的欧式期权定价
第四节 美式期权定价
第五节 远期合约和期货合约的定价
第六节 互换合约的定价
第七章 连续时间公司资本定价与资本结构
第一节 公司资本定价的一般模型
第二节 公司资本定价的分类模型
第三节 公司债券的风险结构
第四节 经典条件下的M-M定理
第五节 较弱条件下M-M定理的变形
第六节 加权平均资本成本与ICAPM综合
第八章 连续时间利率期限结构理论
第一节 离散时间确定利率的期限结构
第二节 连续时间确定利率的期限结构
第三节 连续时间随机利率的期限结构理论
第四节 连续时间随机利率的期限结构方程
第五节 仿射期限结构模型
第六节 若干随机利率模型及期限结构
参考文献
后记
……